二重积分

文章目录

二重积分1.概念，性质与对称性1.1 概念1.2 性质1.3 对称性1.3.1 普通对称性1.3.2 轮换对称性

2.二重积分的计算2.1 直角坐标系下交换积分次序2.2 利用极坐标2.3 利用对称性2.4 平移法2.5 利用形心公式(待整理)

3.重难点题型总结3.1 极坐标系下交换积分次序3.2 抽象函数的二重积分3.3 二重积分比较大小3.4 二重积分的极限问题3.5 极坐标二重积分变为一重积分(一个容易忽略的点)3.6【经典例题】极坐标计算二重积分的经典计算问题3.6.1 二重积分直角坐标系转换为极坐标系3.6.2 【易错多细节计算题】通过观察被积函数是极坐标类型，从而将直角坐标转换为极坐标的题目

3.7【经典例题】变上限的二重积分问题3.8【经典例题&&计算细节易错题】做辅助线计算二重积分问题3.9【经典例题】被积函数中含有绝对值的二重积分计算问题3.10【经典例题】被积函数中是max{}的二重积分计算问题3.11 二重积分与分段函数的小综合3.12 被积函数形如sinx+cosy，且积分区域关于y=x对称，考虑轮换对称性

【二重积分做题思路大观】看见积分区域计算二重积分

二重积分的应用仅数学一学习

1.概念，性质与对称性

1.1 概念

几何意义: 二重积分是一个数，当其被积函数≥0时，其值等于以积分域D为底，以曲面z=f（x,y)为曲顶柱体的体积。

1.2 性质

补充性质： 若被积函数在积分区域上连续非负且不恒等于零，则相应的二重积分大于零。

性质一:可积函数必有界，当f(x,y)在有界闭区域上可积时，f(x,y)在D上必有界。 性质二:区域D的拆分，D可以拆分为D1+D2 性质三:内加绝对值≥外加绝对值 性质四:估值定理 设M和m分别是f(x,y)在有界闭区域D上的最大值和最小值，A为D的面积，则有

m

A

≤

∬

D

f

(

x

,

y

)

d

σ

≤

M

A

mA \leq \iint \limits_{D}^{}f\left(x,y\right)d\sigma \leq MA

mA≤D∬​f(x,y)dσ≤MA

性质五:二重积分中值定理

设函数

f

(

x

,

y

)

在有界闭区域

D

上连续，

A

为

D

的面积，则在

D

上至少存在一点

(

ξ

,

η

)

，使得

∬

D

f

(

x

,

y

)

d

σ

=

f

(

ξ

,

η

)

A

设函数f\left(x,y\right)在有界闭区域D上连续，A为D的面积，则在D上至少存在一点\left(\xi ,\eta \right)，使得\\\iint \limits_{D}^{}f\left(x,y\right)d\sigma = f\left(\xi ,\eta \right)A\:\:

设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，A为D的面积，则在D上至少存在一点(ξ,η)，使得D∬​f(x,y)dσ=f(ξ,η)A

1.3 对称性

对称性分为普通对称性和轮换对称性

1.3.1 普通对称性

核心: 普通对称性，既看积分区域，又看被积函数 首先，积分区域得关于y轴或者x轴对称 其次，被积函数要满足奇偶

核心口诀:偶倍奇0 积分区域D关于y轴对称 f(-x,y)=f(x,y)为偶，原先的积分区域为D，改为2D1 f(x,y)=-f(-x,y)为奇，直接=0

积分区域关于x轴对称 f(x,-y)=f(x,y)为偶，原先的积分区域为D，改为2D1 f(x,y)=-f(x,-y)为奇，直接=0

关于y=x对称，也要考虑到，若还满足轮换对称性，那就是2倍的y=x轴任取一半积分区域的二重积分

1.3.2 轮换对称性

核心: 轮换对称性，只看积分区域，积分区域满足y=x对称(通俗讲就是，x换成y，y换成x，积分区域不变，就存在以下结论。

∬

D

1

f

(

x

,

y

)

d

x

d

y

=

∬

D

2

f

(

y

,

x

)

d

x

d

y

=

1

2

∬

D

[

f

(

x

,

y

)

+

f

(

y

,

x

)

]

d

x

d

y

\iint \limits_{D1}^{}f\left(x,y\right)dxdy = \iint \limits_{D2}^{}f\left(y,x\right)dxdy = \frac{1}{2}\iint \limits_{D}^{}\left[f\left(x,y\right) + f\left(y,x\right)\right]dxdy

D1∬​f(x,y)dxdy=D2∬​f(y,x)dxdy=21​D∬​[f(x,y)+f(y,x)]dxdy 注意上面的积分区域：D1,D2,D,不要混淆

再次提醒，轮换对称性不需看被积函数，即f(x,y)和f(y,x)不必相等，若相等就会得到普通对称性的结论，即f(x,y)=f(y,x)，关于y=x轴对称的积分区域取一半求2倍就行。

如下图所示：关于积分区域D1和D2关于y=x对称，有如下结论：

2.二重积分的计算

2.1 直角坐标系下交换积分次序

x型区域，先y后x，即先（）dy，此时的积分上下限用x表示，然后再dx y型区域，先x后y，即先（）dx，此时的积分上下限用y表示，然后再dy

2.2 利用极坐标

什么时候用极坐标很关键？ 适合用极坐标计算的二重积分的特征:

被极函数特征

:

f

(

x

2

+

y

2

)

f

(

y

x

)

,

f

(

x

y

)

积分区域特征

:

x

2

+

y

2

≤

R

2

（圆）

,

x

2

+

y

2

≤

2

a

x

（椭圆）

被极函数特征:f\left(\sqrt[]{x^{2} + y^{2}}\right)f\left(\frac{y}{x}\right),f\left(\frac{x}{y}\right)\:\\积分区域特征:x^{2} + y^{2} \leq R^{2}（圆）,x^{2} + y^{2} \leq 2ax（椭圆）\:

被极函数特征:f(x2+y2

​)f(xy​),f(yx​)积分区域特征:x2+y2≤R2（圆）,x2+y2≤2ax（椭圆）

2.3 利用对称性

不毕多说，用对称性减少不必要的计算。

2.4 平移法

为什么要使用平移法？ 某些题目中，如圆，正方形之类的图形，圆的圆心并不在原点上，通过常规的计算非常复杂，而且由于不在原点上，对称性用不了，我们很难去化简计算。 但是二重积分换元法属于超纲内容，只需要会用这种平移的情况即可。

2.5 利用形心公式(待整理)

3.重难点题型总结

3.1 极坐标系下交换积分次序

一般情况极坐标系都是先r后θ，但是交换积分次序的题目要求先θ后r

首先说明，不推荐采用画同心圆的方法在极坐标系下交换积分次序。太麻烦 只需要记住一点，θ，r,想写成x，y，就可以写成，看成直角坐标系，没有问题

一种方法搞定：

将θ写成x，将r写成y在直角坐标系下交换积分将结果带回，x写成θ，y写成r

题目实战:

注意: 1️⃣该过程中，被积函数不动，因为被积函数这么来回改变，它不会变。 2️⃣注意三角函数求反函数时，要注意区间，不能直接就arc

题目实战来源: 660第109题

3.2 抽象函数的二重积分

若告诉g(x)是f(x)的反函数，其实也就是意味着，g(x)=f-1(x)，意味着，他俩的复合函数=x。 二重积分积不出来的时候，考虑

分布积分法画图交换积分次序

题目实战来源: 660第275题

3.3 二重积分比较大小

二重积分比大小，其实就是抓住被积函数或者积分区域两个方向，比较，三者比较要借助中间量进行比较。

积分区域比较 积分区域比较就是画图看哪个积分区域大被极函数比较 若被积函数的f()相同，f(内容)不同，则利用单调性等比较。 若f()不同，利用均值不等式等比较

3.4 二重积分的极限问题

利用二重积分中值定理，其中在问题中，f(ξ,η)往往趋近到f(0,0)，并用洛必达法则做题。

题目实战来源: 660第273题

3.5 极坐标二重积分变为一重积分(一个容易忽略的点)

题目实战来源: 660第498题

3.6【经典例题】极坐标计算二重积分的经典计算问题

明确：极坐标的θ和r的上下限怎么确定？ r的上下限确定，从极点(也就是直角坐标中的原点)出发，画射线，由小到大，比如在一个圆中，就是碰到圆的边界，这个圆的方程(直角坐标)用r替换化简，变成r<什么θ的形式，如r

3.6.1 二重积分直角坐标系转换为极坐标系

题目来源：880第五章基础篇选择5

3.6.2 【易错多细节计算题】通过观察被积函数是极坐标类型，从而将直角坐标转换为极坐标的题目

细节1:如何确定圆内圆外？ 将圆心坐标代入不等式，看看成立与否，成立就是在圆内，不成立就是不在圆内 细节2:arcsin(sinθ)=θ,只要在-2/派到+2/派上才成立。需要等价替换

题目来源：880第五章基础篇填空7

3.7【经典例题】变上限的二重积分问题

变上限的二重积分问题就是逐层求导

题目来源：880第五章基础篇填空3

3.8【经典例题&&计算细节易错题】做辅助线计算二重积分问题

本题类型：通过做辅助线，利用奇偶性去计算二重积分问题 本题中有一个细节就是当积分区域关于x轴对称时，被积函数是x，没有y就补y，补一个y0，就是关于y的偶函数。

例题2:

3.9【经典例题】被积函数中含有绝对值的二重积分计算问题

思路： 被积函数中存在绝对值，思考方式就是去掉绝对值，通过范围决定是否变号。 通过观察积分区域，确定划分的范围。比如通过极径确定，划分区域。

两种类型

一种是x2+y2这种，关于圆的一种是形如x+y=1，x-y=1 这种y关于x具有线性关系的，画直线的类型

例题1(类型1):

例题2(类型2):

3.10【经典例题】被积函数中是max{}的二重积分计算问题

本质跟被积函数中含有绝对值的二重积分计算是一样的，关键在于解决通过划分被积函数

3.11 二重积分与分段函数的小综合

3.12 被积函数形如sinx+cosy，且积分区域关于y=x对称，考虑轮换对称性

首先是两个积分加和的形式，且被积函数相同，考虑，通过合并积分化简积分。 积分区域关于y=x对称，被积函数考虑轮换对称性 化极坐标计算

【二重积分做题思路大观】

看见积分区域

首先看对不对称

是否关于x轴对称是否关于y轴对称是否关于y=x对称是否关于原点对称(不常用)

计算二重积分

跟圆相关的考虑通过极坐标计算二重积分